Question

已知（x+

1

2 3 x

）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求n的值；   
（2）求展开式中的常数项．

Answer 1

分析：（1））求得（x+

1

2• 3 x

）ⁿ的展开式的通项公式，再根据展开式中前三项的系数成等差数列求得n的值．
（2）令x的幂指数

3×8-4r

3

=0，解得 r=6，由此求得展开式中的常数项．

解答：解：（1）∵（x+

1

2• 3 x

）ⁿ的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r n

•x^n-r•

1

2r

•x-

r

3

=

1

2r

•

C

r n

•x

3n-4r

3

，
故由展开式中前三项的系数成等差数列可得

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2

1

2

•C

1 n

，解得 n=6，或 n=1（舍去）．
即 n=8．
（2）令

3×8-4r

3

=0，解得 r=6，故展开式中的常数项为T₇=

1

26

•

C

6 8

=

7

16

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，等差数列的定义和性质，属于中档题．