Question

【题目】已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆过点，抛物线的顶点为原点．

求椭圆和抛物线的方程；

设点P为抛物线准线上的任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：为定值；

若直线AB交椭圆于C，D两点，，分别是，的面积，试问：是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）为，为．（2）证明见解析；有最小值，最小值．

【解析】

由已知列出方程组，解方程组即可求出椭圆和抛物线的方程；设，过点P与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立可得，由及其根与系数的关系即可证明为定值．由题得当直线AB的斜率存在时，可证当直线AB的斜率不存在时，可得，由此能求出的最小值．

解：设椭圆和抛物线的方程分别为和，，

中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆过点，

抛物线的顶点为原点．

，解得，，，

椭圆的方程为，抛物线的方程为．

证明：设，过点P与抛物线相切的直线方程为，

由，消去x得，

由得，，即，

．

设，

由得，，则，，

直线BA的方程为，即，

直线AB过定点．

以A为切点的切线方程为，即，

同理以B为切点的切线方程为，

两条切线均过点，

，

则切点弦AB的方程为，即直线AB过定点

设P到直线AB的距离为d，

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，

设，，，，

由，得，时恒成立．

．

由，得，恒成立．

．

．

当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，

此时，，，

．

综上，有最小值．