Question

【题目】函数且

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）定义在R上的函数满足，当时，。若存在满足不等式且是函数的一个零点，求实数a的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）将代入，求其导函数，得的值，进而可得切线方程。

（2）构造函数，根据已知得到其是奇函数，求导可得在上的单调性，将转化为关于的不等式，利用的单调性解该不等式，可求得的范围，即的零点的范围，转化为在的范围上有零点，利用导数知识和零点存在性定理，可求出a的取值范围。

解：（1）当时，因为

所以，

所以，

又，所以函数在点处的切线方程为，

即

（2）令，因为，

所以，

所以为奇函数。

当时，，

所以在上单调递减，

所以在R上单调递减，

又满足不等式，即，

所以，

化简得，所以，即

令

因为是函数的一个零点，

所以在时有一个零点：

当时，，

所以在上单调递减，

又，又因为，

所以要使在时有一个零点，只需，解得，

所以实数a的取值范围为