Question

已知函数f（x）=

A

2

-

A

2

（2ωx+2φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

），且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2），
（1）求 A，ω，φ的值；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的最大值为2结合函数解析式得到A，再由图象相邻两对称轴间的距离为2求得周期，则ω可求，结合函数图象过点（1，2）求得φ的值；
（2）由函数解析式求得f（1）+f（2）+f（3）+f（4），并得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的周期性求得f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

解答： 解：（1）y=

A

2

-

A

2

cos(2ωx+2ϕ)，
∵y=f（x）的最大值为2，A＞0，
∴

A

2

+

A

2

=2，即A=2．
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，
∴

1

2

•

2π

2ω

=2，ω=

π

4

．
∴f(x)=

2

2

-

2

2

cos(

π

2

x+2φ)=1-cos(

π

2

x+2φ)．
∵y=f（x）过点（1，2），
∴cos(

π

2

+2φ)=-1．
∴2φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=kπ+

π

4

，
又0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

；
（2）∵y=1-cos(

π

2

x+

π

2

)=1+sin

π

2

x，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0=1=4，
又∵y=f（x）的周期为4，且2013=4×503+1．
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）=2014．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，考查了三角函数值的求法，是中档题．