Question

【题目】函数的定义域为，若存在闭区间[m,n] D，使得函数满足：①在[m,n]上是单调函数；②在[m,n]上的值域为[2m,2n]，则称区间[m,n]为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ．（填上所有正确的序号）

①；

②；

③；

④．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

试题分析：函数中存在“倍值区间”，则①在内是单调函数；②,或, ，①若存在“倍值区间”，则，∴，若存在“倍值区间”；②若存在“倍值区间”，则,，构建函数，∴，∴函数在上单调减，在上单调增，∴函数在处取得极小值，且为最小值．∵，∴，∴无解，故函数不存在“倍值区间”；③若存在“倍值区间”，则, ，∴，，若存在“倍值区间”；④，， （，）．不妨设，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“倍值区间”，则，，∴是方程的两个根，∴是方程的两个根，由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”；综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④．