Question

【题目】已知函数（）．

（1）求函数的单调区间；

（2）函数在定义域内存在零点，求的取值范围．

（3）若，当时，不等式恒成立，求的取值范围

Answer 1

【答案】（1）当时，函数的单调增区间为，当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）先求函数的导数，分和求函数的单调区间；（2）将的零点问题，转化

为，的问题，所以设函数（），求函数的导数，在定义域内分析函数的单调区间，根据单调性和极值点得到函数的最小值，然后再根据函数的变化速度分析函数没有最大值，趋于正无穷大；（3）由（2）知，当时，，即，，先分析法证明：，．根据，将问题转化为证明，然后结合（1）所讨论的单调区间，求得满足条件的的取值范围．

试题解析：（1）由，则．

当时，对，有，所以函数在区间上单调递增；

当时，由，得；由，得，

此时函数的单调增区间为，单调减区间为．

综上所述，当时，函数的单调增区间为；

当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．

（2）函数的定义域为，

由，得（）

令（），则，

由于，，可知当，；当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增，故．

又由（1）知当时，对，有，即，

（随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大．）

∴当时，函数有零点；

（3）由（2）知，当时，，即．

先分析法证明：．

要证只需证明即证

设，则

所以在时函数单调递增，所以，则

当时，由（1）知，函数在单调递增，则在恒成立；

当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减．故当时，所以，则不满足题意，舍去．

综上，满足题意的实数a的取值范围为．