Question

已知数列{a_n}满足an+1=

an

an+2

，a₁=1．
（1）设bn=

1

an

+1，证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）设c_n=（a_n+1）a_n+1，求数列{c_n}的前n项和s_n．

Answer 1

分析：（1）由

bn

bn-1

=

1 an +1

1 an-1 +1

=

an-1+2 an-1 +1

1 an-1 +1

=

2an-1+2

an-1+1

=2可证．
（2））由（1）得a_n=

1

2n-1

，c_n=（a_n+1）a_n+1=（

1

2n-1

+1）

1

2n+1-1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

这样裂项后求和即可．

解答：（1）证明：∵

bn

bn-1

=

1 an +1

1 an-1 +1

=

an-1+2 an-1 +1

1 an-1 +1

=

2an-1+2

an-1+1

=2
∴{b_n}是首项为2，公比q=2的等比数列．…6分
（2）解：由（1）得b_n=2•2^n-1=2ⁿ，即

1

an

+1=2ⁿ，∴a_n=

1

2n-1

…8分
∴c_n=（a_n+1）a_n+1=（

1

2n-1

+1）

1

2n+1-1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

S_n=（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n-1-1

点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，考查等比数列的判定、通项公式求解，裂项求和法，考查变形构造、转化、论证、计算等能力．