Question

20．如图，PM是圆O的切线，M为切点，PAB是圆的割线，AD∥PM，点D在圆上，AD与MB交于点C．若AB=6，BC=4，AC=3，则MD等于（　　）

• A． 2
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{4}{9}$

Answer 1

分析 证明△BMA∽△AMC，得出MC=$\frac{4}{3}$，再利用相交弦定理，求出CD，利用△MCD∽△ACB，求出MD．

解答 解：由题意，连接AM，则
∵PM是圆O的切线，M为切点，
∴∠PMA=∠PBM，
∵AD∥PM，
∴∠PMA=∠MAC，
∴∠MAC=∠ABM，
∵∠AMB=∠CMA，
∴△BMA∽△AMC，
∴$\frac{BM}{AM}=\frac{MA}{MC}$=$\frac{BA}{AC}$，
∵AB=6，AC=3，
∴BM=2AM，AM=2MC，
∴BM=4MC，
∴4+MC=4MC，
∴MC=$\frac{4}{3}$．
由相交弦定理可得3CD=$\frac{4}{3}×4$，
∴CD=$\frac{16}{9}$．
∵△MCD∽△ACB，
∴$\frac{MD}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴MD=$\frac{8}{3}$
故选：B．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查相交弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．