Question

攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图（1）在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所在位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，现如图（2）A，C分别为两名攀岩者所在位置，B为山的拐角处，且斜坡AB的坡角为θ，D为山脚，某人在E处测得A，B，C的仰角分别为α，β，γ，ED=α，求：
（1）BD间的距离及CD间的距离；
（2）在A处攀岩者距地面的距离h．

Answer 1

分析：（1）根据题意得∠CED=γ，∠ABE=β，∠AED=α，借助图形分别在直角三角形CED和直角三角形BED中求解；
（2）在直角三角形中先求出AE，BE，然后在△ABE中利用正弦定理即可求得．

解答：解：（1）根据题意得∠CED=γ，∠ABE=β，∠AED=α
在直角三角形CED中，tanγ=

CD

DE

，CD=atanγ
在直角三角形BED中，tanγ=

BD

DE

，BD=atanβ
（2）由题意，AE=

h

sinα

，BE=

a

cosβ

在△ABE中，∠AEB=α-β，∠EAB=π-（α+θ），
由正弦定理得：

BE

sin∠EAB

=

AE

sin∠AEB

代入整理：h=

asinαsin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

．

点评：本题考查学生利用直角三角形求解三角形中的知识，考查利用正弦定理求解三角形，属于中档题．