Question

攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图（1）在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所在位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，现如图（2）A，C分别为两名攀岩者所在位置，B为山的拐角处，且斜坡AB的坡角为θ，D为山脚，某人在E处测得A，B，C的仰角分别为α，β，γ，ED=a，
（1）求：BD间的距离及CD间的距离；
（2）求证：在A处攀岩者距地面的距离h=

asinαsin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

．

Answer 1

分析：（1）根据题意得∠CED=γ，∠BED=β，∠AED=α，借助图形分别在直角三角形CED和直角三角形BED中求解；
（2）在直角三角形中先求出AE，BE，然后在△ABE中利用正弦定理即可求得．

解答：解：（1）根据题意得∠CED=γ，∠BED=β，∠AED=α
在直角三角形CED中，tanγ=

CD

DE

，CD=atanγ，
在直角三角形BED中，tanβ=

BD

DE

，BD=atanβ
（2）易得AE=

h

sinα

，BE=

a

cosβ

，
在△ABE中，∠AEB=α-β，∠EAB=π-（α+θ），
∴∠ABE=θ+β
正弦定理

BE

sin∠EAB

=

AE

sin∠ABE

代入整理：h=

asinαsin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

点评：此题考查了学生读题识图的能力，还考查了利用直角三角形求解三角形中的知识及利用正弦定理求解三角形．