Question

9．已知F点为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，以点F为圆心的圆于C的渐近线相切，且与C交于A，B两点，若AF⊥x轴，则C的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设F（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由AF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：F（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
可得F到渐近线的距离为d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
即圆F的半径为b，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵A在圆F上，∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=b，
即a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，以及直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．