Question

在直角坐标系中，已知点列P₁（1，-

1

2

），P₂（2，

1

22

），P₃（3，-

1

23

），…，P_n（n，(-

1

2

)n），…，其中n是正整数．连接P₁ P₂的直线与x轴交于点X₁（x₁，0），连接P₂ P₃的直线与x轴交于点X₂（x₂，0），…，连接P_n P_n+1的直线与x轴交于点X_n（x_n，0），…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）依次记△X₁P₂X₂的面积为S₁，△X₂P₃X₃的面积为S₃，…，△X_nP_n+1X_n的面积为S_n，…试求无穷数列{S_n}的各项和．

Answer 1

（1）∵P_n（n，(-

1

2

)n），P_n+1（n+1，(-

1

2

)n+1），
∴直线P_nP_n+1的方程为：

y-(- 1 2 )n

x-n

=

(- 1 2 )n+1-(- 1 2 )n

(n+1)-n

=(-

3

2

) (-

1

2

)n，
∴令y=0，得-(-

1

2

)n=(-

3

2

) (-

1

2

)n(x-n)，
整理，得x-n=

2

3

，
∴x_n=x=n+

2

3

．
即xn=n+

2

3

，n∈N*．
（2）由题设条件能够导出Sn=

1

2n+2

，
∴数列{a_n}是首项为

1

8

，公比为

1

2

的等比数列，
∴S=

lim

n→∞

S_n=

1 8

1- 1 2

=

1

4

．