Question

已知双曲线方程是x²-

y2

2

=1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P₁、P₂两点，并使P（2，1）为P₁P₂的中点，则此直线方程是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设y=kx-2k+1．代入x²-

y2

2

=1，消y并化简，利用韦达定理，结合P（2，1）为P₁P₂的中点，即可求出直线方程．

解答： 解：设y=kx-2k+1．代入x²-

y2

2

=1，消y并化简，得（2-k²）x²+2k（2k-1）x-4k²+4k-3=0．  
设直线与双曲线的交点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
当2-k²≠0即k²≠2时，有x₁+x₂=

-2k(2k-1)

2-k2

又点P（2，1）是弦P₁P₂的中点，
∴

-2k(2k-1)

2-k2

=4，解得k=4．    
当k=4时△=4k² （2k-1）²-4（2-k²） （-4k²+4k-3）=56×5＞0，
当k²=2即k=±

2

时，与渐近线的斜率相等，
即k=±

2

的直线l与双曲线不可能有两个交点，
综上所述，所求直线方程为y=4x-7．  
故答案为：4x-y-7=0．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．