Question

（2011•广东模拟）设α∈(0，

π

3

)，β∈(

π

6

，

π

2

)，且α，β满足

5 3 sinα+5cosα=8 2 sinβ+ 6 cosβ=2

（1）求cos(α+

π

6

)的值．
（2）求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）将等式5

3

sinα+5cosα=8左边提取10，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin（α+

π

6

）的值，由α的范围求出α+

π

6

的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出cos（α+

π

6

）的值；
（2）等式

2

sinβ+

6

cosβ=2左边提取2

2

，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin（β+

π

3

）的值，由β的范围求出β+

π

3

的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（β+

π

3

）的值，将所求式子利用诱导公式sin（

π

2

+θ）=cosθ变形，其中的角

π

2

+α+β变形为（α+

π

6

）+（β+

π

3

），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵5

3

sinα+5cosα=8，
∴10（

3

2

sinα+

1

2

cosα）=8，即sin（α+

π

6

）=

4

5

，（3分）
∵α∈（0，

π

3

），∴α+

π

6

∈（

π

6

，

π

2

），
∴cos（α+

π

6

）=

1-sin2(α+ π 6 )

=

3

5

；（4分）
（2）又∵

2

sinβ+

6

cosβ=2，
∴2

2

（

1

2

sinβ+

3

2

cosβ）=2，即sin（β+

π

3

）=

2

2

，（6分）
∵β∈（

π

6

，

π

2

），∴β+

π

3

∈（

π

2

，

5π

6

），
∴cos（β+

π

3

）=-

2

2

，（7分）
∴cos（α+β）=sin[

π

2

+（α+β）]=sin[（α+

π

6

）+（β+

π

3

）]
=sin（α+

π

6

）cos（β+

π

3

）+cos（α+

π

6

）sin（β+

π

3

）
=

4

5

×（-

2

2

）+

3

5

×

2

2

=-

2

10

．（12分）

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围．本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，在求值题中，这是一个重要的经验！