题目内容

(2011•广东模拟)已知函数f(x)=
a-x
+
x
(a∈N*),对定义域内任意x1,x2,满足|f(x1)-f(x2)|<1,则正整数a的取值个数是
5
5
分析:对定义域内任意x1,x2,满足|f(x1)-f(x2)|<1,即表明f(x)的最大值与最小值的差小于1.(也就是值域区间的长度小于1),求其最大最小值即可.
解答:解:∵a-x≥0,x≥0,∴0≤x≤a,∴定义域为[0,a]
对定义域内任意x1,x2,满足|f(x1)-f(x2)|<1,即表明f(x)的最大值与最小值的差小于1.(也就是值域区间的长度小于1),求其最大最小值即可
∵f(x)=
a-x
+
x
≥0
∴[f(x)]2=a+2
x(a-x)
≥a,当x=0或a时,f(x)取最小值
a

又x(a-x)≤[
x+(a-x)
2
]2=
a2
4
,当x=a-x即x=
a
2
时取等号
即[f(x)]2≤a+a=2a,f(x)≤
2a
,当x=
a
2
时取最大值
2a

∴(
2
-1)
a
<1
a
1
2
-1
=1+
2

∴a<3+2
2

∵a∈N*
∴a=1、2、3、4、5
∴正整数a的取值个数是5个.
故答案为:5
点评:本题考查恒成立问题,考查函数的最值,解题的关键是转化为值域区间的长度小于1.
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