Question

（2011•广东模拟）给定函数f(x)=

x2

2(x-1)

（1）试求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知各项均为负的数列{a_n}满足，4Sn•f(

1

an

)=1，求证：-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

；
（3）设b_n=-

1

an

，T_n为数列 {b_n} 的前n项和，求证：T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（1）先写出f(x)=

x2

2(x-1)

的定义域，再求其导数，由f′（x）＜0解出单调减区间即可；
（2）由已知可得2Sn=an

-a

2 n

，再由此式得到2Sn-1=an-1

-a

2 n-1

，两式相减得结合已知条件得出a_n的通项公式，于是，待证不等式即为

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．为此，我们考虑证明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0，下面利用换元法结合导数工具进行证明．
（3）由（2）可知 bn=

1

n

  则 Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，下面只须在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3…..2010，2011并将各式相加即可．

解答：解：（1）f(x)=

x2

2(x-1)

的定义域为{x|x≠1}…（1分） （此处不写定义域，结果正确不扣分）
f′（x）=

x2-2x

2(x-1)2

…（3分）
由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
单调减区间为（0，1）和（1，2）…（5分）（答案写成（0，2）扣（1分）；不写区间形式扣1分）
（2）由已知可得2Sn=an

-a

2 n

，当n≥2时，2Sn-1=an-1

-a

2 n-1

两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1
当n=1时，2a₁=a₁-a₁²得a₁=-1，若a_n=-a_n-1，则a₂=1这与题设矛盾
∴a_n-a_n-1=-1
∴a_n=-n                   …（8分）
于是，待证不等式即为

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．
为此，我们考虑证明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0
令1+

1

x

=t．则t＞1，x=

1

t-1

再令g（t）=t-1-lnt，g′（t）=1-

1

t

  
由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0
∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增∴g（t）＞g（1）=0 于是t-1＞lnt
即 

1

x

＞ln

x+1

x

，x＞0 　　　 ①
令h（t）=lnt-1+

1

t

，h′（t）=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

   由t∈（1，+∞）知h′（t）＞0
∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增∴h（t）＞h（1）=0   于是lnt＞1-

1

t

即ln

x+1

x

＞

1

x+1

，x＞0　　 ②
由①、②可知

1

x

＞ln

x+1

x

＞

1

x+1

，x＞0      …（10分）
所以，

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，即  -

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

  …（11分）
（3）由（2）可知 bn=

1

n

  则 Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

…（12分）
在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3…..2010，2011并将各式相加得

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

2012

2011

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2011

…（13分）
即     T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁…14

点评：本题考查数列和不等式的综合，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．