题目内容

△ABC内角A、B、C成等差，
①若a、b、c成等比，则△ABC等边三角形；
②若a=2c，则△ABC锐角三角形；
③若
AB
2=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
，则3A=C；
④若tanA+tanC＞-
3
，则△ABC为钝角三角形．
其中正确命题的个数是（　　）
A、1B、2C、3D、4
考点：命题的真假判断与应用
专题：等差数列与等比数列,解三角形,平面向量及应用
分析：△ABC内角A、B、C成等差数列⇒B=60°．
①，a、b、c成等比⇒b2=ac，利用余弦定理a2+c2-2accosB=ac可得a=c，可判断①；
②，若a=2c⇒sinA=2sinC，即sinA=2sin（120°-A），利用此式可求得A=90°，从而可判断②；
③，依题意，利用向量的加减运算可求得abcosC=0，即C=90°，结合B=60°⇒A=30°，可判断③；
④，令A=C=60°，举例说明可判断④．
解答： 解：∵△ABC内角A、B、C成等差，
∴2B=A+C，3B=A+B+C=180°，
∴B=60°．
对于①，若a、b、c成等比，则b2=ac，即a2+c2-2accosB=ac，
所以，a2+c2-2ac=（a-c）2=0，
所以a=c，故△ABC为等边三角形，①正确；
对于②，若a=2c，由正弦定理得：sinA=2sinC，即sinA=2sin（120°-A）=2sin120°cosA-2cos120°sinA=
3
cosA+sinA，
所以，
3
cosA=0，A=90°，△ABC为直角三角形，②错误；
对于③，因为
AB
2=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
=
AB
（
AC
+
CB
）+
CA
•
CB
=
AB
2+abcosC，
所以，abcosC=0，C=90°，又B=60°，故A=30°，
所以，3A=C，③正确；
对于④，若A=C=60°，tanA+tanC=2
3
＞-
3
，但此时△ABC为锐角三角形，④错误．
综上所述，正确命题的个数是2个，
故选：B．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查等差数列与等比数列的性质，考查向量的运算法则及数量积的应用，考查转化思想．
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1
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1
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1
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1
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t
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2i
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．
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1
4
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A、-
1
4
B、
1
4
C、
4
5
D、5

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