题目内容
如图，边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1，B1C1的中点．（Ⅰ）求异面直线AE与FC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线AC1与平面B1BCC1所成角的正切值．
考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角
专题：空间角
分析：（1）因为E、F分别是棱A1D1，B1C1的中点，连接BF，则BF∥AE，所以∠BFC为异面直线AE与FC所成角，利用余弦定理求余弦值；
（2）因为AB⊥平面B1BCC1，所以∠AC1B为直线AC1与平面B1BCC1所成角．
（2）因为AB⊥平面B1BCC1，所以∠AC1B为直线AC1与平面B1BCC1所成角．
解答：
解：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1，B1C1的中点．连接BF，则EF∥AB，所以BF∥AE，所以∠BFC为异面直线AE与FC所成角，
cos∠BFC=
=
=
，
所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为
．
（2）因为AB⊥平面B1BCC1，所以∠AC1B为直线AC1与平面B1BCC1所成角，tan∠AC1B=
=
=
；
直线AC1与平面B1BCC1所成角的正切值
．
cos∠BFC=
| BF2+CF2-BC2 |
| 2BF×CF |
| 5+5-4 | ||||
2
|
| 3 |
| 5 |
所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为
| 3 |
| 5 |
（2）因为AB⊥平面B1BCC1，所以∠AC1B为直线AC1与平面B1BCC1所成角，tan∠AC1B=
| AB |
| BC1 |
| 2 | ||
2
|
| ||
| 2 |
直线AC1与平面B1BCC1所成角的正切值
| ||
| 2 |
点评：本题考查异面直线所成的角以及线面角的求法，考查学生分析解决问题、转化的能力，属于中档题．
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