Question

已知函数f（x）=

|1-x2|

1+|x|

，若方程f（x-1）=a有且仅有三个不同的实根，则实数a的取值的集合为

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：数形结合,函数思想,函数的性质及应用

分析：先将f（x）表达式进行适当的化简，以便于画出其图象，注意到这是一个偶函数，所以只需研究x＞0时解析式，然后画出x＞0时函数的图象即可，最后利用数形结合求出方程f（x-1）=a根的个数，注意到y=f（x-1）图象由y=f（x）的图象沿x轴右移1个单位得到，所以平移前后与直线y=a的交点个数不变，因此y=f（x）的图象与y=a的交点个数为3时a的值即为所求．

解答： 解：显然f（x）是偶函数，所以当x＞0时f(x)=

(x+1)|x-1|

x+1

=|x-1|，且x=0时f（0）=1据此作出f（x）的图象如图：

因为y=f（x-1）图象是由y=f（x）的图象沿x轴右移一单位得到，两函数图象与直线y=a的交点个数不变，所以由y=f（x）的图象与y=a的图象可知，当a=1时，恰好两函数图象有三个不同交点，所以a=1．
故答案为：{1}

点评：利用函数思想结合它们的图象研究方程根的个数，范围问题是高考的重点，一般是先将方程的根看成一个函数图象与x轴交点或看成两个函数图象交点的横坐标（如本题），再想办法合理转化函数，正确画出图象，最后据图分析求解．