Question

20．函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx$，已知函数y=f（x）的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b．
（1）求出函数y=f（x）的表达式和切线l方程；
（2）当$x∈[\frac{1}{e}，e]$时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程，可得a=2，求出切点，可得b=2，进而得到切线方程；
（2）求出f（x）的导数，可得极值点和单调区间、极值和最值，由题意可得k＞f（x）的最大值．

解答 解：（1）函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx$，导数f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，f′（2）=2-$\frac{a}{2}$=1，解得a=2，
即f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，f（2）=2-2ln2，
由于点P（2，f（2））在y=x+b上，
可得b=2，直线l：y=x-2ln2；
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，
f′（x）=x-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{x}$，
当f′（x）=0时，x=$\sqrt{2}$，则随x的变化，f（x），f′（x）的变化如下：

x	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，$\sqrt{2}$）	$\sqrt{2}$	（$\sqrt{2}$，e）	e
f′（x）		-	0	+
f（x）	2+$\frac{1}{2{e}^{2}}$	递减	1-ln2	递增	$\frac{{e}^{2}}{2}$-2

由表可以知道当x∈[$\frac{1}{e}$，e]时，函数的最大值为2+$\frac{1}{2{e}^{2}}$，
则k＞2+$\frac{1}{2{e}^{2}}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．