Question

6．证明函数f（x）=-2x+1在R上是减函数．

Answer 1

分析 证法一：设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，作差判断f（x₁），f（x₂）的大小，根据单调性的定义，可得函数f（x）=-2x+1在R上是减函数．
证法二：求导，根据f′（x）＜0恒成立，可得函数f（x）=-2x+1在R上是减函数．

解答 证法一：设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-2x₁+1）-（-2x₂+1）=2（x₂-x₁）．
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0．∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）=-2x+1在R上是减函数．
证法二：∵f（x）=-2x+1，
∴f′（x）=-2，
∵f′（x）＜0恒成立，
故函数f（x）=-2x+1在R上是减函数．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数单调性的定义，难度中档．