Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求整数的最大值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) 的最大值为1.

【解析】

（1）根据的不同范围，判断导函数的符号，从而得到的单调性；（2）方法一：构造新函数，通过讨论的范围，判断单调性，从而确定结果；方法二：利用分离变量法，把问题变为，求解函数最小值得到结果.

（1）

当时， 在上递增；

当时，令，解得：

在上递减，在上递增；

当时， 在上递减

（2）由题意得：

即对于恒成立

方法一、令，则

当时， 在上递增，且，符合题意；

当时， 时，单调递增

则存在，使得，且在上递减，在上递增

由得：

又 整数的最大值为

另一方面，时，，

，

时成立

方法二、原不等式等价于：恒成立

令

令，则

在上递增，又，

存在，使得

且在上递减，在上递增

又，

又，整数的最大值为