题目内容
【题目】有2012位学者参加某数学会议，他们中有些人相互认识，且满足：
（1）每个人至少认识其中的671个人；
（2）对于其中任意两个人
、
，若、相互不认识，则总可以通过其他人间接认识，即存在
，使得认识
，
认识
，
认识；
（3）不可以将2012位学者排成一排，使得相邻的两个人相互认识.
证明：可以将2012位学者分成两组，其中一组能够排成一圈，使得相邻的人相互认识，另一组任何两个人不认识.
【答案】见解析
【解析】
将2012位学者看作2012个点
，
与
相邻当且仅当与相互认识，这样就得到了一个图
.
取最长的一条链
，不妨设
.
由条件（3）知
.
设
表示与
相邻的点的集合.则
、
.
，
，
，
.
由链的最长性，知对任意的
，
.
下面用反证法证明：
.
假设
.则
，矛盾.
故.
设
.则
构成一个圈.
对于余下的点：与
不相连.除以外的任意两点
、
，若与相连，则一定存在一条包含了、和
的一条链，这样就找到了比更长的链，矛盾.故与不相连.
综上，可以将2012位学者分成两组，其中一组能够排成一圈，使得相邻的人相互认识，另一组任何两人人不认识.
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【题目】为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：
，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求
的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
