Question

已知如下等式：，，，…当n∈N^*时，试猜想1²+2²+3²+…+n²的值，并用数学归纳法给予证明．

Answer 1

解：由已知，猜想1²+2²+3²+…+n²=，
下面用数学归纳法给予证明：
（1）当n=1时，由已知得原式成立；
（2）假设当n=k时，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=，
那么，当n=k+1时，1²+2²+3²+…+（k+1）²=+（k+1）²
=
=
故n=k+1时，原式也成立．
由（1）、（2）知1²+2²+3²+…+n²=成立．
分析：解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，从中猜想1²+2²+3²+…+n²的值．再用数学归纳法证明，证明时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，命题成立，第二步，先假设当n=k时，原式成立，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．
点评：本题主要考查归纳推理、数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．