Question

4．已知函数f（x）=5sinxcosx-5$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$（x∈R）．
（1）求f（x）的周期和最值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）写出f（x）的图象的对称轴方程和对称中心坐标．

Answer 1

分析 化简函数f（x）=5sinxcosx-5$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$=$5sin（2x-\frac{π}{3}）$，然后根据三角函数的性质解答即可．

解答 解：$f（x）=5sinxcosx-5\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{5\sqrt{3}}}{2}=\frac{5}{2}sin2x-\frac{{5\sqrt{3}}}{2}（1+cos2x）+\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$
=$5sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（1）$T=\frac{2π}{2}=π$；当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，即$x=\frac{5π}{12}+kπ（k∈Z）$时，f（x）_max=5；
当$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$即x=kπ-$\frac{π}{12}$（k∈Z）时，f（x）_min=-5．
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）
解得$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ$（k∈Z）．
故f（x）的单调增区间为：$[-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ]（k∈Z）$．
（3）由$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$（k∈Z）得$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}（{k∈Z}）$．
故f（x）的图象的对称轴方程是$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}（{k∈Z}）$；
由$2x-\frac{π}{3}=kπ$（k∈Z）得$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$（k∈Z）．
f（x）的图象的对称中心坐标是$（\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，0）（k∈Z）$．

点评 本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．