Question

【题目】在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， ， .

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；(2)

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理求得，由此可推出，然后利用勾股定理推出，从而使问题得证；（Ⅱ）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标与向量，从而求得平面与平面的法向量，进而利用空间夹角公式求解．

试题解析：（Ⅰ）证明：在中， ，由已知， ， ，

解得，所以，即，可求得．

在中，

∵, , ,

∴,∴,

∵平面, ,∴平面．

（Ⅱ）过作直线垂直于，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系．

∵由（Ⅰ）可知，平面平面，∴在平面上的投影一定在上，过作于，则， ，则，

易求， ， ，

则， ， ，

设平面的法向量， 解得．　

同理可求得平面的法向量，

∴.