Question

【题目】如图，在三棱柱中，底面△ABC是等边三角形，侧面为正方形，且平面ABC， 为线段上的一点．

(Ⅰ) 若∥平面A1CD，确定D的位置，并说明理由；

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：

(1)利用线面平行的判断定理由线线平行证明线面平行即可

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值即可.

试题解析：

（Ⅰ）D为的中点，理由如下：

连接AC1，交A1C于点E，可知E为AC1的中点，连接DE，

因为∥平面A1CD，

平面ABC1∩平面A1CD＝DE，

所以∥DE，

故为的中点．

（Ⅱ）不妨设＝2，分别取BC，B1C1的中点O，O1，连接AO，OO1，可知OB，OO1， OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O-xyz．

知，

则， ，

设面A1CD的法向量，

由得

令，得A1CD的一个法向量为，

又平面BCC1的一个法向量，

设二面角的平面角为α，

则．

即该二面角的余弦值为．