Question

12．已知数列{a_n}，a₁=1，${a_n}=2{a_{n-1}}+1（{n≥2，n∈{N^*}}）$．
（1）证明{a_n+1}是等比数列．
（2）若${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{（{{a_n}+2}）（{{a_n}+3}）}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（3）证明$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}＜\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+…+\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＜\frac{n}{2}（{n∈{N^*}}）$．

Answer 1

分析 （1）由${a_n}=2{a_{n-1}}+1（{n≥2，n∈{N^*}}）$．可得：a_n+1=2（a_n-1+1），利用等比数列的定义即可证明；
（2）由${a_n}+1={2^n}$，可得${a_n}={2^n}-1$，b_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$，利用“裂项求和”即可得出；
（3）由$\frac{a_k}{{{a_{k+1}}}}=\frac{{{2^k}-1}}{{{2^{k+1}}-1}}=\frac{{{2^k}-1}}{{2（{{2^k}-\frac{1}{2}}）}}＜\frac{1}{2}$，利用“累加求和”即可证明不等式的右边成立；又$\frac{a_k}{{{a_{k+1}}}}=\frac{{{2^k}-1}}{{{2^{k+1}}-1}}=\frac{1}{2}\frac{{（{{2^k}-\frac{1}{2}}）-\frac{1}{2}}}{{{2^k}-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}[{1-\frac{1}{{2（{{2^k}-\frac{1}{2}}）}}}]$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2（{{2^{k+1}}-1}）}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{3×{2^k}+{2^k}-2}}≥\frac{1}{2}-\frac{1}{{3×{2^k}}}$，（k∈N^*），利用“累加求和”即可证明不等式的左边边成立．

解答 （1）证明：由${a_n}=2{a_{n-1}}+1（{n≥2，n∈{N^*}}）$．
可得：a_n+1=2（a_n-1+1），当n≥2时，$\frac{{{a_n}+1}}{{{a_{n-1}}+1}}=2$，a₁+1=2，
∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：${a_n}+1={2^n}$，
∴${a_n}={2^n}-1$，
${b_n}=\frac{2^n}{{（{{2^n}+1}）（{{2^n}+2}）}}=\frac{{{2^{n-1}}}}{{（{{2^n}+1}）（{{2^{n-1}}+1}）}}=\frac{1}{{{2^{n-1}}+1}}-\frac{1}{{{2^n}+1}}$，
${S_n}=（{\frac{1}{{{2^0}+1}}-\frac{1}{{{2^1}+1}}}）+（{\frac{1}{{{2^1}+1}}-\frac{1}{{{2^2}+1}}}）+…+（{\frac{1}{{{2^{n-1}}+1}}-\frac{1}{{{2^n}+1}}}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^n}+1}}$；
（3）证明：∵$\frac{a_k}{{{a_{k+1}}}}=\frac{{{2^k}-1}}{{{2^{k+1}}-1}}=\frac{{{2^k}-1}}{{2（{{2^k}-\frac{1}{2}}）}}＜\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+…+\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＜\frac{n}{2}$，
又∵$\frac{a_k}{{{a_{k+1}}}}=\frac{{{2^k}-1}}{{{2^{k+1}}-1}}=\frac{1}{2}\frac{{（{{2^k}-\frac{1}{2}}）-\frac{1}{2}}}{{{2^k}-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}[{1-\frac{1}{{2（{{2^k}-\frac{1}{2}}）}}}]$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2（{{2^{k+1}}-1}）}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{3×{2^k}+{2^k}-2}}≥\frac{1}{2}-\frac{1}{{3×{2^k}}}$，（k∈N^*）
∴$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+…+\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}≥\frac{n}{2}-\frac{1}{3}（{\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^n}}）$=$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}（{1-\frac{1}{2^n}}）$$＞\frac{n}{2}-\frac{1}{3}$，
综上：$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}＜\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+…+\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＜\frac{n}{2}（{n∈{N^*}}）$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法、“放缩法”、不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于难题．