Question

17．已知函数f（x）=lnx+$\frac{7a}{x}$，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在其定义域内有且只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）在[e，e²]上的最小值为3，求实数a的值．（e是自然对数的底数）

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{7a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-7a}{{x}^{2}}$，x＞0，根据a≤0和a＞0两种情况分类讨论，利用导数性质能求出实数a的取值范围．
（2）根据a≤0、a≥$\frac{{e}^{2}}{7}$、$\frac{e}{7}＜a＜\frac{{e}^{2}}{7}$三种情况分类讨论，结合导数性质能求出实数a的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lnx+$\frac{7a}{x}$，a∈R，
∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{7a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-7a}{{x}^{2}}$，x＞0，
当a≤0时，f′（x）＞0，
∴f（x）递增，f（x）值域为R，此时函数y=f（x）在其定义域内有且只有一个零点；
当a＞0时，f（x）在（0，7a）内递减，在（7a，+∞）内递增，
∵f（x）在其定义域内有且只有一个零点，
∴f（7a）=ln（7a）+$\frac{7a}{7a}=0$，解得a=$\frac{1}{7e}$．
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]∪{$\frac{1}{7e}$}．
（2）当a≤0时，函数f（x）递增，∴函数f（x）在[e，e²]上的最小值为f（e），
∵函数y=f（x）在[e，e²]上的最小值为3，∴f（e）=1+$\frac{7a}{e}$=3，
此时a无解．
若a≥$\frac{{e}^{2}}{7}$，则f（x）在[e，e²]递减，∴函数f（x）在[e，e²]上的最小值为f（e²），
∵函数y=f（x）在[e，e²]上的最小值为3，
∴f（e²）=2+$\frac{7a}{{e}^{2}}$=3，解得a=$\frac{{e}^{2}}{7}$．
若$\frac{e}{7}＜a＜\frac{{e}^{2}}{7}$，则f（x）在[e，e²]的最小值为f（7a），
∵函数y=f（x）在[e，e²]上的最小值为3，
∴f（7a）=ln（7a）+1=2，此时无解．
综上，a=$\frac{{e}^{2}}{7}$．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．