题目内容

5．已知f（x）是定义在（-∞，1）∪（1，+∞）上的可导函数，且f（x）=f′（2）x2+xf（x）+x，则f（x）的解析式为f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{1-x}$，（x≠1）．

分析 由f（x）=f′（2）x2+xf（x）+x，令x=2，可得：4f′（2）+f（2）+2=0．对f（x）=f′（2）x2+xf（x）+x，两边求导可得：f′（x）=2xf′（2）+f（x）+xf′（x）+1，令x=2，可得5f′（2）+f（2）+1=0，联立解得f′（2）．代入即可得出．

解答 解：∵f（x）=f′（2）x2+xf（x）+x，
令x=2，则f（2）=4f′（2）+2f（2）+2，化为：4f′（2）+f（2）+2=0．
对f（x）=f′（2）x2+xf（x）+x，两边求导可得：f′（x）=2xf′（2）+f（x）+xf′（x）+1，
令x=2，则f′（2）=4f′（2）+f（2）+2f′（2）+1，即5f′（2）+f（2）+1=0，
联立解得f′（2）=1．
∴f（x）=x2+xf（x）+x，
∵x≠1，解得f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{1-x}$．
故答案为：f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{1-x}$，（x≠1）．

点评 本题考查了导数的运算法则、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
4．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，则|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$．
5．函数$f（x）=\sqrt{x}$的反函数是f-1（x）=x2（x≥0）．
13．已知椭圆C的中心为坐标原点，F是该椭圆在y轴的正半轴上的一个焦点，其短轴长为$2\sqrt{2}$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F分别作斜率为k1，k2的直线交椭圆C，得到弦AB，CD它们的中点分别是M，N，当k1k2=1时，求证：直线MN过定点．
20．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$，其中a为大于零的常数．．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（3）求证：对于任意的n∈N*，且n＞1时，都有lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$成立．
10．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=2，AA1=3，点M是BC中点，点P∈AC1，Q∈MD，则|PQ|长度最小值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
17．已知函数f（x）=lnx+$\frac{7a}{x}$，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在其定义域内有且只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）在[e，e2]上的最小值为3，求实数a的值．（e是自然对数的底数）
14．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$（sin2ωxcos$\frac{π}{4}$+cos2ωx•sin$\frac{π}{4}$）（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且α、β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），求cos（α+β）的值．
15．函数f（x）=ax3-2ax2+（a+1）x-log2（a2-1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-∞，-1）B．（1，+∞）C．（1，4]D．（1，3]

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网