Question

设函数f（x）=x-

a

2

lnx
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求证e2(

π

-

e

)＞(

π

e

)

e

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=1-

a

2x

=

2x-a

2x

，分a≤0，a＞0两种情况讨论，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0即可；
（2）要证e2(

π

-

e

)＞(

π

e

)

e

，只证lne2(

π

-

e

)＞ln(

π

e

)

e

，即证2

π

-

e

lnπ-

e

＞0，令x=

π

，则2x-

e

lnx²-

e

＞0，亦只证x-

e

lnx-

e

2

＞0，构造函数利用（1）问的结论可证；

解答： 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
f′（x）=1-

a

2x

=

2x-a

2x

，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞

a

2

，f（x）的递增区间是（

a

2

，+∞）．
综上，当a≤0时，f（x）的递增区间是（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的递增区间是（

a

2

，+∞）．
（2）要证e2(

π

-

e

)＞(

π

e

)

e

，只证lne2(

π

-

e

)＞ln(

π

e

)

e

，即证2

π

-

e

lnπ-

e

＞0，
令x=

π

，则2x-

e

lnx²-

e

＞0，亦只证x-

e

lnx-

e

2

＞0，
令g（x）=x-

e

lnx-

e

2

，由（1）知g（x）在（

e

，+∞）上递增，
又

π

＞

e

，
∴g（

π

）＞g（

e

），即

π

-

e

ln

π

-

e

2

＞

e

-

e

ln

e

-

e

2

=0．
故e2(

π

-

e

)＞(

π

e

)

e

．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，合理变形恰当构造函数是证明不等式的关键．