Question

如图，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC的中点，过点D的直线分别交AB，AC于点M，N，若

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，其中x＞0，y＞0，则2x+4y的最小值是

3+2

2

．

Answer 1

分析：利用三角形的直角建立坐标系，求出各个点的坐标，有条件求出M和N坐标，则由截距式直线方程求出MN的直线方程，根据点D（1，1）在直线上，求出x，y的关系式，利用基本不等式求出2x+4y的最小值

解答：解：以AC、AB为a，b轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，
则D点坐标为（1，1），B（0，2）、C（2，0），
∵

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，
∴点M坐标为（0，2x），点N的坐标为（2y，0）
∴直线MN的方程为

a

2x

+

b

2y

=1
∵直线MN过点D（1，1），
∴

1

2x

+

1

2y

=1
∴

1

x

+

1

y

=2
则2x+4y=(

1

x

+

1

y

)x+2•(

1

x

+

1

y

)y=3+（

x

y

+

2y

x

）≥3+2

2

故答案为：3+2

2

点评：本题的考查了利用向量的坐标运算求最值问题，需要根据图形的特征建立坐标系，转化为几何问题，根据条件求出两数的和，再由基本不等式求出它们的积的最大值，注意验证三个条件：一正二定三相等，考查了转化思想．