Question

在双曲线=1上求一点，使它到直线l：x-y-3=0的距离最短，并求最短距离.

Answer 1

解：与直线l：y=x-3平行的双曲线的切线方程可设为y=x+m.将y=x+m代入双曲线的方程，整理得16x²+50mx+25m²+225=0，根据直线与双曲线相切的充要条件，有Δ=2 500m²-64×(25m²+225)=0，解得m=±4,根据题意，m可取-4.将y=x-4代入双曲线方程，整理，得16x²-200x+625=0，解得重根x=.因而y=x-4=,故得切点（，）.由于直线y=x-3与切线y=x-4的距离为，所以双曲线上的点到直线l的最短距离是.