Question

【题目】已知函数，，其中．

(1)若是函数的极值点，求实数的值；

(2)若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)(2)

【解析】

试题本题主要考查利用导数求函数的极值、单调区间、最值等基础知识及分类讨论思想，也考查了学生分析问题解决问题的能力及计算能力.第一问先对函数进行求导，再把极值点代入导函数求得实数a的值；第二问对任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max，利用导数分别判断函数f (x)、g(x)的单调性并求其在定义域范围内的最值，判断单调性时可对实数a进行分类讨论，则可求得实数a的取值范围．

试题解析：(1)∵h(x)＝2x＋＋ln x，其定义域为(0，＋∞)，∴h′(x)＝2－＋，

∵x＝1是函数h(x)的极值点，∴h′(1)＝0，即3－a2＝0.

∵a＞0，∴a＝.

经检验当a＝时，x＝1是函数h(x)的极值点，∴a＝.

(2)对任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max.

当x∈[1，e]时，g′(x)＝1＋＞0.

∴函数g(x)＝x＋ln x在[1，e]上是增函数，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1.

∵f′(x)＝1－＝，且x∈[1，e]，a＞0.

①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，f′(x)＝＞0，

∴函数f(x)＝x＋在[1，e]上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a2.

由1＋a2≥e＋1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意．

②当1≤a≤e时，

若1≤x≤a，则f′(x)＝＜0，

若a＜x≤e，则f′(x)＝＞0.

∴函数f(x)＝x＋在[1，a)上是减函数，在(a，e]上是增函数．

∴f(x)min＝f(a)＝2a.

由2a≥e＋1，得a≥. 又1≤a≤e，∴≤a≤e.

③当a＞e且x∈[1，e]时f′(x)＝＜0，

函数f(x)＝x＋在[1，e]上是减函数．∴f(x)min＝f(e)＝e＋.

由e＋≥e＋1，得a≥，又a＞e，∴a＞e.

综上所述，a的取值范围为[，＋∞)．