Question

在平面直角坐标系xOy中，点P是圆上一动点，x轴于点D.记满足的动点M的轨迹为Γ.

(1)求轨迹Γ的方程；

(2)已知直线与轨迹Γ交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹Γ于点Q，且.

①证明：

②求△AOB的面积S(λ)的解析式，并计算S(λ)的最大值.

 

Answer 1

(1)；(2)

【解析】

试题分析：(1)由已知M是PD的中点，利用P点在圆上，可以求出M的点轨迹方程为；(2)点Q在(1)中的椭圆上，G是OQ上的分点，利用直线与椭圆的关系，可以找到λ与m和k的关系，并进一步将三角形AOB的面积表示成λ的函数关系式，再求出它的最大值.

试题解析：(1)设，则点，且 (1)

∵

∴ (2)

将(2)代入(1)，得

∴轨迹Γ的方程为； 5分

(2)①令

由消去y

得 6分

∴，即 (3)

∴

又由中点坐标公式，得

根据，得

将其代入椭圆方程，有

化简得： (4) 9分

②由(3)(4)得

∵ (5)

在△AOB中， (6)

∴由(4)(5)(6)可得 12分

令

则(当且仅当t＝1时，即时取“＝”)

∴当时，取得最大值，其最大值为1. 13分

考点：动点轨迹，直线与椭圆的位置关系，中点坐标，平面向量的坐标运算，基本不等式，范围与最值.