Question

已知，A是抛物线y²＝2x上的一动点，过A作圆(x－1)²＋y²＝1的两条切线分别切圆于EF两点，交抛物线于M、N两点，交y轴于B、C两点

（１）当A点坐标为(8，4)时，求直线EF的方程；

（２）当A点坐标为(2，2)时，求直线MN的方程；

（３）当A点的横坐标大于2时，求△ABC面积的最小值。

Answer 1

（１）∵DEFA四点共圆　EF是圆（x－1）²＋y²＝1及(x－1)(x－8)＋y(y－4)＝０

的公共弦    ∴EF的方程为7x＋4y－8＝0

（２）设AM的方程为y－2＝k(x－2)　　

即kx－y＋2－2k＝0与圆(x－1)²+y²＝1相切得＝1

∴k＝  把y－2＝（x－2）代入y²＝2x得M(，)，而N(2，－2)

∴MN的方程为3x＋2y－2＝0

（３）设P(x₀，y₀)，B(0，b)，C(0，c)，不妨设b＞c，  直线PB的方程为y－b＝，

即(y₀－b)x－x₀y＋x₀b＝0又圆心（1，0）到PB的距离为1，

所以＝1，故（y₀－b）²＋x＝（y₀－b）²＋2x₀b(y₀－b)+ xb²

又x₀＞2，上式化简得（x₀－2）b²＋2y₀b－x₀＝0  同理有（x₀－2）c²＋2y₀c－x₀＝0

故b，c是方程（x₀－2）t²＋2y₀t－x₀＝0的两个实数根

所以b＋c＝，bc＝，则(b－c)²＝

因为P(x₀，y₀)是抛物线上的点，所以有y＝2x₀，则

(b－c)²＝，b－c＝，

∴S_△PBC＝(b－c)x₀＝＝x₀－2＋＋4≥2＋4＝8

当（x₀－2）²＝4时，上式取等号，此时x₀＝4，y＝±2,因此S_△PBC的最小值为8