Question

已知点A是抛物线y²=2px（p＞0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交与点K，已知|AK|=

2

|AF|，三角形AFK的面积等于8．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l₁，l₂，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G，H．求|GH|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A（x₀，y₀），因为抛物线的焦点F（

p

2

，0），准线的方程为：x=-

p

2

，K（-

p

2

，0），作AM⊥l于M，则|AM|=x₀+

p

2

=|AF|，由此能求出p．
（Ⅱ）由y²=8x，得F（2，0），设l₁的方程为y=k（x-2），l₂的方程为y=-

1

k

（x-2）．由

y2=8x y=k(x-2)

 得G（2+

4

k2

，

4

k

），同理可得H（2+4k²，-4k），由此能求出|GH|的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设A（x₀，y₀），
因为抛物线的焦点F（

p

2

，0），
准线的方程为：x=-

p

2

，K（-

p

2

，0），
作AM⊥l于M，，
则|AM|=x₀+

p

2

=|AF|
又|AK|=

2

|AF|得|AK|=

2

|AM|，
△AKM即为等腰直角三角形，
∴|KM|=|AM|=x₀+

p

2

，即A（x₀，x₀+

p

2

），
而A点在抛物线上，
∴(x0+

p

2

)2=2px₀，
∴x₀=

p

2

，于是（

p

2

，p）．
又∵S_△AFK=

1

2

•|KF|•|y₀|=

1

2

•p•p=

p2

2

=8，
p=4．
（Ⅱ）由y²=8x，得F（2，0），
显然直线l₁，l₂的斜率都存在且都不为0．
设l₁的方程为y=k（x-2），则l₂的方程为y=-

1

k

（x-2）．
由

y2=8x y=k(x-2)

 得G（2+

4

k2

，

4

k

），
同理可得H（2+4k²，-4k）
则|GH|²=(

4

k2

-4k)2+(

4

k2

+4k)2
=16（k⁴+

1

k4

+k²+

1

k2

）≥64．（当且仅当k²=

1

k2

时取等号）
所以|GH|的最小值是8．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．