Question

（2011•钟祥市模拟）已知，A是抛物线y²=2x上的一动点，过A作圆（x-1）²+y²=1的两条切线分别切圆于EF两点，交抛物线于M．N两点，交y轴于B．C两点
（1）当A点坐标为（8，4）时，求直线EF的方程；
（2）当A点坐标为（2，2）时，求直线MN的方程；
（3）当A点的横坐标大于2时，求△ABC面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由DEFA四点共圆，知EF是圆（x-1）²+y²=1及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦，由此能求出EF的方程．
（2）设AM的方程为y-2=k（x-2），由kx-y+2-2k=0与圆（x-1）²+y²=1相切得

|2-k|

1+k2

=1，由此能求出MN的方程．
（3）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），设b＞c，直线PB的方程为y-b=

y0-b

x0

x，由圆心（1，0）到PB的距离为1，知

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，故（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，故b，c是方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的两个实数根，由此能求出S_△PBC的最小值．

解答：解：（1）∵DEFA四点共圆
EF是圆（x-1）²+y²=1及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦
∴EF的方程为7x+4y-8=0…（4分）
（2）设AM的方程为y-2=k（x-2）
即kx-y+2-2k=0与圆（x-1）²+y²=1相切得

|2-k|

1+k2

=1
∴k=

3

4

，
把y-2=

3

4

（x-2）代入y²=2x得M（

2

9

，

2

3

），而N（2，-2）
∴MN的方程为3x+2y-2=0…（8分）
（3）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨设b＞c，
直线PB的方程为y-b=

y0-b

x0

x，
即（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
又圆心（1，0）到PB的距离为1，所以

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，故
（y₀-b）²+x₀²=（y₀-b）²+2x₀b（y₀-b）+x₀²+b²
又x₀＞2，上式化简得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0
同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0
故b，c是方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的两个实数根
所以b+c=-

2y0

x0-2

，bc=-

x0

x0-2

，则（b-c）²=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0

(x0-2)2

，
因为P（x₀，y₀）是抛物线上的点，所以有y₀²=2x₀，则
（b-c）²=

4 x 2 0

(x0-2)2

，b-c=

2x0

x0-2

，
∴S_△PBC=

1

2

（b-c）x₀=

x 2 0

x0-2

=x₀-2+

4

x0-2

+4≥2

4

+4=8
当（x₀-2）²=4时，上式取等号，此时x₀=4，y=±2

2

，
因此S_△PBC的最小值为8…（13分）

点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．