Question

【题目】已知直线经过椭圆（）的左顶点和

上顶点．椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线

分别交于、两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求线段长度的最小值；

（Ⅲ）当线段的长度最小时，椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）椭圆上存在两个点，使得的面积为．

【解析】

（Ⅰ）令得，所以，所以，令得，所以，所以

，所以椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）显然直线的斜率存在且为正数，设直线的方程为（），联立得

，解得，由得，

显然，由求根公式得或（舍），所以，从而直线的方程为，联立得，解得，所以，当且仅当时取“”，因此，线段长度的最小值为；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，时线段的长度最小，此时，，因为的面积为，所以点到直线的距离为，因为直线的方程为，设过点且与直线平行的直线的方程为，由两平行线之间距离为得，解得或，当时，直线的方程为，联立得，消去得，显然判别式，故点有个；当时，直线

的方程为，联立得，消去得，显然判别式，故

点不存在．所以，椭圆上存在两个点，使得的面积为．