Question

如图，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：①DE=DA;②平面BDM⊥平面ECA；③平面DEA⊥平面ECA.

Answer 1

证明：①取EC的中点F，连结DF.

∵CE⊥平面ABC，

∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.

∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

∵EF=CE=DB,DF=BC=AB,

∴Rt△EFD≌Rt△DBA,故DE=AD.

②取AC的中点N，连结MN、BN，则MNCF.

∵BD，∴MNBD，∴N∈平面BDM.

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.

又∵AC⊥BN,∴BN⊥平面ECA.

又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA.

③∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.

又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.

点评：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，这里证明的关键是BN⊥平面ECA，在这里应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系.