Question

1．如图，已知A，B，C，D四点共圆，BA，DC的延长线交于点M，CA，DB的延长线交于点F，连接FM，且FM⊥MD．过点B作FD的垂线，交FM于点E
（Ⅰ）证明：△FAB∽△FDC
（Ⅱ）证明：MA•MB=ME•MF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用：A，B，C，D四点共圆，可得∠FBA=∠FCD，结合公共角，即可证明△FAB∽△FDC；
（Ⅱ）证明：F，E，A，B四点共圆，利用割线定理证明MA•MB=ME•MF．

解答 证明：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠FBA=∠FCD，
∵∠AFB=∠DFC，
∴△FAB∽△FDC
（Ⅱ）如图，在△FBE，△FMD中，∠FBE=∠FMD=90°，∠BFE=∠MFD，
由三角形内角和定理，可得∠BEF=∠MDF，
∵ABDC为圆的内接四边形，
∴∠MDF=∠BAF，
∴∠BEF=∠BAF，
∴F，E，A，B四点共圆，
∴MA•MB=ME•MF．

点评 本题考查三角形相似的判定，考查四点共圆、圆的内接四边形的性质，考查割线定理，属于中档题．