Question

已知函数y=-sin²x-acosx+2，是否存在实数a，使得函数的最小值为-2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：三角函数的最值,二次函数在闭区间上的最值,余弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的求值

分析：函数y=（cosx-

a

2

）²+1-

a2

4

，再分当

a

2

≤-1、当-1＜

a

2

＜1时、当

a

2

≥1时三种情况，分别利用二次函数的性质求得y的最小值，再根据y的最小值为-2，求得a的值．

解答： 解：∵y=cos²x-acosx+1=（cosx-

a

2

）²+1-

a2

4

当

a

2

≤-1，即a≤-2时，则当cosx=-1时，y_min=2+a=-2，
∴a=-4．
当-1＜

a

2

＜1，即-2＜a＜2时，y_min=1-

a2

4

=-2  得a²=12（舍）．
当

a

2

≥1，即a≥2时，cosx=1时，y_min=2-a=-2，
∴a=4．
综上，存在a=-4或a=4时，函数的最小值为-2．

点评：本题主要考查余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．