题目内容
如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．（1）求证：CD∥平面EFGH；
（2）如果AB=CD=a，求证：四边形EFGH的周长为定值．
分析：（1）由空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形，知EF∥GH，由此能够证明CD∥平面EFGH．
（2）由空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．AB=CD=a，推导出
=1，由此能推导出四边形EFGH的周长为定值．
（2）由空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．AB=CD=a，推导出
| EF+FG |
| a |
解答：证明：（1）∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形，
∴EF∥GH，
又∵EF?平面BDC，GH?平面BDC，
∴EF∥平面BDC，
∵EF?平面ADC，
平面ADC∩平面BDC=DC，
∴EF∥DC，又CD?平面EFGH
∴CD∥平面EFGH．
（2）∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．
AB=CD=a，
∴
=
，
=
，
∴
+
=
+
，
∵AB=CD=a，
+
=1，
+
=
，
∴
=1，
∴EF+FG=a，
∴四边形EFGH的周长=2a．
故四边形EFGH的周长为定值．
∴EF∥GH，
又∵EF?平面BDC，GH?平面BDC，
∴EF∥平面BDC，
∵EF?平面ADC，
平面ADC∩平面BDC=DC，
∴EF∥DC，又CD?平面EFGH
∴CD∥平面EFGH．
（2）∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．
AB=CD=a，
∴
| AF |
| AC |
| EF |
| CD |
| CF |
| AC |
| FG |
| AB |
∴
| AF |
| AC |
| CF |
| AC |
| EF |
| CD |
| FG |
| AB |
∵AB=CD=a，
| AF |
| AC |
| CF |
| AC |
| EF |
| CD |
| FG |
| AB |
| EF+FG |
| a |
∴
| EF+FG |
| a |
∴EF+FG=a，
∴四边形EFGH的周长=2a．
故四边形EFGH的周长为定值．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查四边形的周为定值的证明，解题时要认真审题，注意空间相象力的培养，
练习册系列答案
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如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则| AB |
| 1 |
| 2 |
| BC |
| 1 |
| 2 |
| BD |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且AD=BC=4，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．
如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
如图，空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且
如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2