Question

如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且AD=BC=4，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定与性质，证出EF∥GH且EH∥FG，从而得到四边形EGFH的两组对边分别平行，即四边形EFGH为平行四边形．
（2）由异面直线所成角的定义，得到∠HGF=60°或120°，利用正弦定理的面积公式得到S_EFGH=

3

2

GH•GF，再利用平行线分线段成比例定理和基本不等式，证出GH•GF的最大值为4，当且仅当E为AB的中点时取到最大值．由此即可算出截面EFGH的面积最大值，得到本题答案．

解答：解：（1）∵BC∥平面EFGH，BC?平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，
∴BC∥EF．同理可得BC∥GH，可得EF∥GH，
同理得到EH∥FG，
∴四边形EGFH中，两组对边分别平行，
因此，四边形EFGH为平行四边形．
（2）∵AD与BC成60°角，
∴平行四边形EFGH中∠HGF=60°或120°，
可得截面EFGH的面积S=GH•GF•sin∠HGE=

3

2

GH•GF
∵设

GH

BC

=λ，则

FG

AD

=1-λ
∴GH=λBC=4λ，BC=λAD=4-4λ
可得GH•GF=16λ（1-λ）≤16×[

λ+(1+λ)

2

]²=4
当且仅当λ=

1

2

时等号成立
由此可得：当E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大，最大值为2

3

．

点评：本题给出三棱锥平行于一组对棱的截面，求证四边形是平行四边形并求面积最大值．着重考查了线面平行的判定与性质、平行线分线段成比例定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．