Question

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
（1）求证：四边形EGGH是平行四边形．
（2）求证：EF∥平面ADC．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线的性质可得 EH和 FG 平行且相等，即得EFGH为平行四边形．
（2）由EF∥GH，而GH?平面ADC，EF不在平面ADC 内可证的结论．

解答：证明：（1）连接 BD，因为HE是△ABD的中位线，
所以，EH∥BD，且 EH=

1

2

BD．
同理，FG∥BD，且 FG=

1

2

BD．因为 EH∥FG，且 EH=FG，
所以，四边形 EFGH为平行四边形．
（2）∵由（1）知 EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，而GH?平面ADC，
EF不在平面ADC 内，故有EF∥平面ADC．

点评：本题考查证明线线平行、线面平行的方法，证明 EFGH为平行四边形是解题的关键，属于中档题．