Question

15．已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在区间上[1，+∞）是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=-$\frac{1}{3}$是f（x）的极值点，求f（x）在[-1，a]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）在区间上[1，+∞）是增函数，转化为导函数大于等于0在[1，+∞）恒成立解；
（2）根据$x=-\frac{1}{3}$是f（x）的极值点，求出a的值，然后求在[-1，a]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=x³-ax²-3x，求导得f′（x）=3x²-2ax-3，
f（x）在区间上[1，+∞）是增函数，则f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立，
即$a≤\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$在[1，+∞）恒成立，
$a≤{[\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）]_{min}}$，
$x-\frac{1}{x}$在[1，+∞）为增函数，
则${（x-\frac{1}{x}）_{min}}=0$，
∴a≤0
（2）f′（x）=3x²-2ax-3，$x=-\frac{1}{3}$是f（x）的极值点，
则${f^'}（-\frac{1}{3}）=3×\frac{1}{9}+2a×\frac{1}{3}-3=0$，
解得a=4，f（x）=x³-4x²-12，
${f^'}（x）=3{x^2}-8x-3=（x-3）（3x+1）=0，x=-\frac{1}{3}，3$，x，f（x），f′（x）变化如下表：

x	-1	$（-1，-\frac{1}{3}）$	$-\frac{1}{3}$	$（-\frac{1}{3}，3）$	3	（3，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	增函数	$\frac{14}{27}$	减函数	-18	增函数	-12

所以$f{（x）_{max}}=f（-\frac{1}{3}）=\frac{14}{27}$，f（x）_min=f（3）=-18．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．