Question

（2013•丽水一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：ccosB+bcosC=4acosA．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若

AB

•

AC

=b+c，求△ABC的面积S的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理、两角和差的正弦、余弦公式，求得cosA的值．
（Ⅱ）根据条件，利用两个向量的数量积的定义和基本不等式，求得△ABC的面积S的最小值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosAsin（B+C）=4sinAcosAsinA=4sinAcosA，
∵sinA≠0，∴cosA=

1

4

．…（6分）
（Ⅱ） 因为 

AB

•

AC

=bccosA=

1

4

bc，所以，

1

4

bc=b+c≥2

bc

bc≥64．
又 sinA=

15

4

，故S=

1

2

bcsinA≥

1

2

×64×

15

4

=8

15

，
当且仅当b=c时，Smin=8

15

．…（14分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理，两角和差的正弦、余弦公式，基本不等式的应用，属于中档题．