Question

如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下两个底面ABCD和A₁B₁C₁D₁互相平行，且都是正方形，DD₁⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a．
（Ⅰ）求异面直线AB₁与DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）已知F是AD的中点，求证：FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，求二面角F-CC₁-B的余弦值．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：法1：（Ⅰ）过A点作AP，使AP∥DD₁，且AP=DD₁，
连接A₁P，B₁P，如图所示
则∠B₁AP为异面直线AB₁与DD₁所成的角．
∴．…（3分）

（Ⅱ）∵F为AD的中点，∴BC⊥平面FB₁A₁，
从而BC⊥FB₁．…（5分）
∵FB₁²+GB₁²=2a²+2a²=4a²=FG²，…（6分）
FB₁⊥GB₁
∴FB₁⊥平面BCC₁B₁．…（7分）
（Ⅲ）由B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，得B₁C₁⊥CC₁．
又由（2）FB₁⊥平面BCC₁B₁，∴由三垂线定理得，FC₁⊥CC₁，
∴∠FC₁B₁是二面角F-CC₁-B的平面角．…（10分）
∵，∴．
即二面角F-CC₁-B的余弦值为．…（12分）
法2：以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系．…（2分）
（Ⅰ）∵，，
∴．…（3分）
（Ⅱ）∵，，．…（6分）
∴
∴FB₁⊥平面BCC₁B₁．…（7分）
（Ⅲ）由（2）知，为平面BCC₁B₁的一个法向量．
设为平面FCC₁的一个法向量，则，．
由令y₁=1，?x₁=2，z₁=1．
∴．…（10分）
∴，即二面角F-CC₁-B的余弦值为．…（12分）
分析：解法1（几何法）：（I）过A点作AP，使AP∥DD₁，且AP=DD₁，连接A₁P，B₁P，可得∠B₁AP为异面直线AB₁与DD₁所成的角，解三角形B₁AP，即可得到异面直线AB₁与DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）由F为AD的中点，结合上、下两个底面ABCD和A₁B₁C₁D₁互相平行，且都是正方形，DD₁⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a，我们易得BC⊥FB₁，FB₁⊥GB₁，由线面垂直的判定定理可得FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）由（II）的结论，我们可得∠FC₁B₁是二面角F-CC₁-B的平面角，解三角形FC₁B₁即可得到二面角F-CC₁-B的余弦值．
解法2（向量法）：（I）以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，分别求出异面直线AB₁与DD₁的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到异面直线AB₁与DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）分别求出向量，，的坐标，根据•=0，•=0，我们可得⊥，且⊥，再由线面垂直的判定定理得到FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）由（II）可得即为平面BCC₁B₁的一个法向量，求出平面FCC₁的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角F-CC₁-B的余弦值．
点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定，其中解法1 （几何法）的关键是求出线面夹角及二面角的平面角，解法2（向量法）的关键是建立空间坐标系，将空间线面夹角，二面角及线面垂直问题转化为向量夹角问题．