题目内容

如图,在多面体ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1
.
BB1AB=AC=AA1=
2
2
BC,B1C1
.
1
2
BC

(1)求证:A1B1⊥平面AA1C;
(2)求证:AB1∥平面A1C1C;
(3)求二面角C1-A1C-A的余弦值.
分析:(1)证明A1B1⊥平面AA1C,只需证明AB⊥平面AA1C,A1B1∥AB;
(2)取BC的中点D,连接AD,DC1,则四边形B1DCC1和BDC1B1为平行四边形,从而可证平面AB1D∥平面A1C1C,即可得到AB1∥平面A1C1C;
(3)由(1)知,AA1,AB,AC两两垂直,建立如图所示的直角坐标系,设BC=2,用坐标表示点与向量,求出平面A1C1C的法向量
m
=(1,-1,1)
,平面A1AC的法向量为
n
=(1,0,0)
,利用向量的夹角公式,即可求得结论.
解答:(1)证明:∵AB=AC=
2
2
BC
,∴AB⊥AC
∵AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AB
∵AA1∩AC=A
∴AB⊥平面AA1C
∵AA1平行且BB1
∴四边形ABB1A1为平行四边形
∴A1B1∥AB
∴A1B1⊥平面AA1C;
(2)证明:取BC的中点D,连接AD,DC1,则CD平行且等于B1C1,BD平行且等于B1C1
∴四边形B1DCC1和BDC1B1为平行四边形
∴B1D平行且等于CC1,∴C1D平行且等于B1B
由(1)B1B平行且等于AA1,∴C1D平行且等于A1A
∴四边形AA1C1D为平行四边形
∴AD∥A1C1
∵B1D∩AD=D,B1D,AD?平面AB1D
∴平面AB1D∥平面A1C1C
∵AB1?平面AB1D
∴AB1∥平面A1C1C;
(3)解:由(1)知,AA1,AB,AC两两垂直,建立如图所示的直角坐标系,设BC=2,则A1(0,0,
2
),C(0,-
2
,0)
,C1(-
2
2
,-
2
2
2

A1C
=(0,-
2
,-
2
)
A1C1
=(-
2
2
,-
2
2
,0)
设平面A1C1C的法向量为
m
=(x,y,z)
,则
m
A1C1
=0
m
A1C
=0
,∴
-
2
x
2
-
2
y
2
=0
-
2
y-
2
z=0
,∴
m
=(1,-1,1)

∵平面A1AC的法向量为
n
=(1,0,0)

∴cos
m
n
=
m
n
|
m
||
n
|
=
3
3

∵二面角C1-A1C-A的为钝二面角,∴二面角C1-A1C-A的余弦值为-
3
3
点评:本题考查线面垂直,线面平行,面面角,考查利用向量方法解决立体几何问题,属于中档题.
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