Question

【题目】已知函数.

（1）试讨论函数的极值点情况；

（2）当为何值时，不等式（且）恒成立？

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）由题得，求得，设，由，分、、三种情况讨论，即可的奥函数极值点的情况.

（2）不等式可化为，再由（1）函数的性质，即可得到实数的取值范围.

试题解析：

（1）由题得， 的定义域为，

.

设， .

①当时，对称轴，

故在区间上单调递增，

则，

所以在区间上恒成立，

所以在区间上单调递增， 无极值；

②当时， ， 恒成立，

故在区间上恒成立，

所以在区间上单调递增， 无极值；

③当时，令，得， ，

令，得或，

令，得，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故的极大值点为，极小值点为.

综上所述，当时， 无极值点；

当时， 的极大值点为，极小值点为.

（2）不等式（且）可化为（*）.

由（1）知：

①当时， 在区间上为增函数，

当时， ，

所以；

当时， ，

所以.

所以当时，（*）式成立.

②当时， 在区间上为减函数， ，

所以，（*）不成立.

综上所述，实数的取值范围是.